Ensembles finis Exemples

$\sqrt{2 x + 169} - \sqrt{x + 1} = 12$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{x + 1}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 169} = 12 + \sqrt{x + 1}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 169}}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 169}$ comme ${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 169)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 169)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 169)}^{1} = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 169 = {(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(12 + \sqrt{x + 1})}^{2}$ comme $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ .

$2 x + 169 = (12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(12 + \sqrt{x + 1}) (12 + \sqrt{x + 1})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 169 = 12 (12 + \sqrt{x + 1}) + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} (12 + \sqrt{x + 1})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 169 = 12 \cdot 12 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $12$ par $12$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 12 + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $12$ à gauche de $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{x + 1}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {\sqrt{x + 1}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ comme $x + 1$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + {(x + 1)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$2 x + 169 = 144 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x + 1$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $144$ et $1$ .

$2 x + 169 = 145 + 12 \sqrt{x + 1} + 12 \sqrt{x + 1} + x$

Étape 3.3.1.3.3

Additionnez $12 \sqrt{x + 1}$ et $12 \sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 169 = 145 + 24 \sqrt{x + 1} + x$

Étape 4

Résolvez $24 \sqrt{x + 1}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$ .

$145 + 24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $24 \sqrt{x + 1}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $145$ des deux côtés de l’équation.

$24 \sqrt{x + 1} + x = 2 x + 169 - 145$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$24 \sqrt{x + 1} = 2 x + 169 - 145 - x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 169 - 145$

Étape 4.2.4

Soustrayez $145$ de $169$ .

$24 \sqrt{x + 1} = x + 24$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(24 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $24 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$24^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$576 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$576 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$576 {(x + 1)}^{1} = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$576 (x + 1) = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$576 x + 576 \cdot 1 = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $576$ par $1$ .

$576 x + 576 = {(x + 24)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(x + 24)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(x + 24)}^{2}$ comme $(x + 24) (x + 24)$ .

$576 x + 576 = (x + 24) (x + 24)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(x + 24) (x + 24)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$576 x + 576 = x (x + 24) + 24 (x + 24)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 (x + 24)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$576 x + 576 = x \cdot x + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + x \cdot 24 + 24 x + 24 \cdot 24$

Étape 6.3.1.3.1.2

Déplacez $24$ à gauche de $x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 \cdot x + 24 x + 24 \cdot 24$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $24$ par $24$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 24 x + 24 x + 576$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$576 x + 576 = x^{2} + 48 x + 576$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} + 48 x + 576 = 576 x + 576$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $576 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 48 x + 576 - 576 x = 576$

Étape 7.2.2

Soustrayez $576 x$ de $48 x$ .

$x^{2} - 528 x + 576 = 576$

Étape 7.3

Soustrayez $576$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 528 x + 576 - 576 = 0$

Étape 7.4

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 528 x + 576 - 576$ .

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Étape 7.4.1

Soustrayez $576$ de $576$ .

$x^{2} - 528 x + 0 = 0$

Étape 7.4.2

Additionnez $x^{2} - 528 x$ et $0$ .

$x^{2} - 528 x = 0$

Étape 7.5

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 528 x$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 528 x = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 528 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 528 = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 528$ .

$x (x - 528) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 528 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7.8

Définissez $x - 528$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 528$ égal à $0$ .

$x - 528 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $528$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 528$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 528) = 0$ vraie.

$x = 0, 528$

Étape 8